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6-皇朝经世文统编-清-邵之棠-第1745页

则以下无数也又按前四术可为开方捷法后四术所求止须以本数累乘即得而挨次递求似乎较烦然开方与累乘但能求倍大折小各整率若前八术则凡第一数可知者虽零率亦可求用之对数为尤要也又按每数通用之乘法除法若先以除法除乘法用为递次乘法则一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用为递次除法则一次除可代一乘一除
论对数根
对数根者诸对数之所生即单一下无数空位零一之对数也旧法以一0为积开方五十四次以其方根单一下空位后所带之零数为一率单一折半五十四次即一兆八千余亿除单一之数为二率单一下十五空位零一之一为三率求得四率为对数根夫以一0为积开方五十四次即以一0为本数第一率求折小第一兆八千零一十四万三千九百八十五亿零九百八十四万一千九百八十四率也今有本数即可求折小各率则是第五十四次开方数可以径求矣既可径求则求第一兆八千余亿率不如求第一无量数率一无量数犹云一千或一万何也一兆八千余亿率为第五十四次开方数之率分其位数甚多用连比例求得率数亦有多位即第五十四次开方数之对数而布算甚繁一无量数数虽极大而仍为一不过一下有无数空位耳以为首率用连比例求末率必为单位下无数空位零一此即求对数根四率之二率数既为一可省多位乘法一次且一无量数较一兆有零为尤密也
今定一0之对数为单一求对数根
法先以一0开平方五次或开平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一0七四六0七八二三二一三一七四九七为对数根之用数用数见后第三十二率以前各率为用数则降位稍难若三十二率以后皆可为用数不必定用三十二率也置用数减去首位单一以除用数得一四四0三四一九二一八八六八六五三九为递次除法用数为通田除法用数减首位为通用乘法此即前所云以乘法除除法 递次除法则一次除可代一乘一除也乃以除法除单一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九0二四九六三二六六为第一数正 除法除第一数一乘之二除之得七七一二三八六四0一0六七八三0为第二数正 除法除第二数二乘之三除之得三五六九七0一六四九二五一二二为第三数正 除法除第三数三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八0五为第四数正 除法除第四数四乘之五除之得一0三二四0九四四二0八三为第五数正 如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正0三五五四六一六三一三为第七数正 二一五九四一0四六为第八数正 一三三二六五三0为第九数正0八三二七一0为第十数正 五二五五七为第十一数正 三三四五为第十二数
正 二一四为第十三数正 一四为第十四数正 一为第十五数正 乃并诸正数得二三0二五八五0九二九九四0四五七七为首率单一为中率求得末率0四三四二九四四八一九0三二五一八一一即对数根也
用数  一0七四六0七八二八三二一三一七四九七
除法  一四四0三四一九二一八八六八六五三九
第一数  二二二一六九四六九0二四九六三二六六 除法除之一乘二除得
 二     七七一二三八六四0一0六七八三0 同   二 三
 三      三五六九七0一六四九二五一二二 同   三 四
 四       一八五八七七八二四九九八0五 同   四 五
 五        一0三二四0九四四二0八三 同   五 六
 六          五九七三一七三三七四一 同   六 七
 七           三五五四六一六三一三 同   七 八
 八            二一五九四一0四六 同   八 九
 九             一三三二六五三0 同   九 十
 十               八三二七一0 同   十 十一
 十一               五二五五七 同   十一十二
 十二                三三四五 同   十二十三
 十三                 二一四 同   十三十四
 十四                  一四 同   十四十五
 十五                   一
得数 首率 二三0二五八五0九二九九四0四五七七
    中率 一
末率 0四三四二九四四八一九0三二五一八一一
按此即以一0为本数第一率依第一术求折小第一无量数率也其第一数本为单一凡求极多率者初商恒为单一依对数例以单一下之零数为比例而截去首位故置第一数不用而竟以第二数为第一数也其以三十二乘之者缘用数系本数之折小第三十二率当于求得数后以三十二乘之为所求数而以三十二乘第一数其得数亦同也所异者求法既依第一术则第二数应以一无量数加一乘之二无量数除之而何以用一乘二除不知求极多率者无加一之差也今试以九乘方言之其率分为十其乘法十一与除法二十之比较一与二之比所差尚大若两位九乘方谓九十九乘方其率分为百而一百零一与二百之比较一与二之比所差较