科学与文明 -05-古籍收藏 - -06-史藏 -13-.经世文编
6-皇朝经世文统编-清-邵之棠-第1754页
位得□三０四八八一为大元数
天元开诸乘方捷术五
如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法 乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求至数十位亦非难事
算例
假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之
先用前除法□八四增求一位得０一二三一仍为借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□００００四六三九０乃用前得元数□三一二三 又为外根如前求得除法□八一四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三为除法 除法除余积得□０００００五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一０五六二五为元数 如再欲增求则以现得十位数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位数之积减本积之余也得数又可消得九位矣
按正诸乘方方可用右术
天元开诸乘方捷术六
方廉隅相并减以除本积得一借根 一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根 二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止
算例
假如平方负积十八正方二十□０九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□０九０四五二为一借根 一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□0九００二 为二借根０二借根步至方法得一□九九九九以除本积得□０九００００九弃零得□０九即小元数
凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣
若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后
又算例
假如立负方积一亿正方一亿００十万０一千负廉十万０一千０一正隅一求元数
方廉隅正负并减得一亿以除本积得□一即元数也
右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此
天元开诸乘方捷术七
以方为递次除法 除法除本积得一借根 一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同相加异名相减 以除法除之得二借根 二借根诸数加减本积以除法除之得三借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
右术亦方大者用之为便
算例
假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数
以方除本积得□一九五一二为一借根 一借根乘隅得□三八０七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根乘隅得□三九九０四０加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数
又算例
假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数
以方除本积得三三三三□三为一借根 一借根立积乘隅得三十兆七０三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根 二借根立积乘隅得四十兆一三０三三三０一加本积以方除之得三四七一０为三借根 三借根立积乘隅得四十兆一八一八０五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根 四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三０一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数
又算例
假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数
以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五 为二借根 二借根平积乘廉得一百兆九一四０六二五以减本积一 借根立积乘隅得八十兆三七四０二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根 三借根平积乘廉得一百兆０九０五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二０四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根 四借根平积乘廉得一百兆九七九０九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八０四三九一以加本积减余数以方除之得四四五０□六为五借根 五借根平积乘廉得一百兆九八０七八四 以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五０□三为六借根 六借根平积乘廉得一百兆九八０五一七０以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五０□四为七借根即元数
右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也
天元开诸乘方捷术八
如前诸术先求得元数数位为一借根 前得元数数位又为外根又求得递次除法 一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根 次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根 三小根之积减次变积余再为积又变